2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

Multiplicación Algebraica

Para esta operación se necesitan la ley de los signos y la interacción de literales. No existe restricción para multiplicar, cualquier término algebraico se puede multiplicar por cualquier otro.

Pasos para la multiplicación algebraica

1. Se resuelve el signo por la ley de los signos
2. Se multiplican coeficientes de manera normal
3. Se multiplican literales

a. Si las literales son iguales, se coloca la literal con exponente igual a la suma de los exponentes anteriores.

b.Si las literales son diferentes, se ponen una junto a la otra en orden alfabético.

2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.

Orden de operaciones.

Para entender cualquier proceso matemático hay que tener en cuenta que sigue un orden específico en las operaciones que se encuentran en un mismo nivel, sin paréntesis de por medio.

Así pues, el orden en que se deben resolver la operaciones en un mismo nivel es el siguiente:

1° Potencias y raíces
2° Multiplicaciones y divisiones
3° Sumas y restas

De tal manera que la siguiente operación se resuelve así:

(Dale cilck para verlo mas claro)

Este es el orden en que están escritos todos los textos matemáticos modernos y también es la lógica que siguen calculadoras y computadoras.

Ejemplos:

(Dale cilck para verlo mas claro)

Signos de agrupación

Este orden se puede alterar al poner signos de agrupación, que se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellas deben considerarse como un todo, en un mismo nivel de operación.

Para evitar confusiones, gráficamente se distinguen 4 signos de agrupación:

1. Paréntesis ordinario ( )
2. Paréntesis cuadrado o corchete [ ]
3. Llaves { }
4. Vínculo o barra __________ (usado ya muy poco en textos, pero retomado para Internet)

Forma de trabajar con los signos de agrupación

1. Cuando vemos uno de estos signos de agrupación, invariablemente significa que se resuelve primero.
2. Si hay varios de ellos separados, se resuelven y se aplica el orden de operaciones a los resultados.
3. Si están uno dentro del otro, se van resolviendo los signos de agrupación de mas internos a mas externos.
4. Si un signo de agrupación está precedido de un signo mas (+) al resolverlo no se altera.
5. Si un signo de agrupación está precedido de un signo menos (-) al resolverlo cambiará su signo, y si este tiene un proceso algebraico en su interior, todos los elementos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo.
6. Si existe un número o expresión algebraica justo afuera del paréntesis, se entiende que lo esta multiplicando.

Apuntes Estadística

Los apuntes estan en http://colegiomexico23.blogspot.com/2007/11/110-interpretar-y-comunicar-informacin.html

Problemas de conteo 1

1. Se tiene un guardarropa de tres pantalones, tres camisas, cuatro pares de calcetines y dos pares de zapatos, ¿Cuántas posibles combinaciones se tienen?
2. ¿Cuántos posibles resultados se tienen al lanzar 10 volados?
3. Las claves de identificación en las placas de un automóvil están compuestas por tres letras (excepto la ñ) y 3 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
4. Un cantante programa una gira por 6 ciudades. ¿Cuántas posibles rutas existen?
5. De un grupo de 5 alumnos se quieren tomar un jefe y un subjefe. ¿Cuántas combinaciones existen para ello?
6. En un grupo de 20 alumnos se van a hacer equipos de tres personas. ¿Cuántos equipos son posibles?
7. Para una compañía de 7,500 empleados, se integran gafetes de seguridad con claves que tienen dos letras (excepto la ñ) y dos dígitos. ¿Cuántas combinaciones sobran o faltan con respecto a los empleados actuales de la compañía?

Combinatoria 4

Baja el archivo
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Combinatoria 3

La Octava Noche

Robert estaba delante del todo, en la pizarra. En el primer banco se sentaban sus dos mejores amigos de clase: Albert, el futbolista, y Bettina, la de las trenzas. Como siempre, los dos estaban discutiendo. Esto es lo que me faltaba, pensó Robert. ¡Ahora sueño con el colegio! Entonces se abrió la puerta, pero no fue el señor Bockel quien entró... fue el diablo de los números.
-Buenos días -dijo-. Según veo, ya estáis discutiendo otra vez. ¿De qué se trata?
-¡Bettina se ha sentado en mi sitio! -gritó Albert.
-Entonces simplemente cámbialo con ella.
-Pero es que no quiere -dijo Albert.
-Escríbelo en la pizarra, Robert -pidió el anciano.
-¿El qué? -Escribe A para Albert y B para Bettina. Albert se sienta a la izquierda y Bettina a la derecha. Robert no veía por qué tenía que escribir eso, pero pensó: Si le gusta, por mí que no quede.
-Bueno, Bettina -dijo el diablo de los números-, ahora siéntate tú a la izquierda y Albert a la derecha. ¡Es curioso! Bettina no protestó. Se levantó como una niña buena e intercambió su sitio con Albert.

escribió Robert en la pizarra. En ese momento se abrió la puerta y entró Charlie, con retraso, como siempre. Se sentó a la izquierda de Bettina.
escribió Robert. Pero eso no le gustó a Bettina.
-¡Si hemos dicho a la izquierda -dijo-, que sea del todo a la izquierda!
-Está bien -bramó Charlie-. ¡Como quieras! Y ambos intercambiaron sus asientos:

Albert no se quedó conforme con eso.
-Pero yo prefiero sentarme con Bettina -gritó.
Charlie fue tan bondadoso que se levantó sin más y le dejó su sitió a Albert.

Si esto sigue así, se dijo Robert, podemos olvidarnos de esta clase de matemáticas. Pero siguió así, porque ahora era Albert el que quería sentarse del todo a la izquierda.
-Pero entonces tenemos que levantarnos todos -dijo Bettina-. No veo por qué, pero si no hay más remedio... ¡Ven, Charlie! Y cuando volvieron a sentarse la cosa estaba así:

Naturalmente, no duró mucho.
-No aguanto un minuto más al lado de Charlie -afirmó Bettina. Realmente rompía los nervios. Pero, como no paraba, los otros chicos tuvieron que ceder. Robert escribió:

-Y ahora basta -dijo. -¿Tú crees? -preguntó el diablo de los números- Esos tres aún no han ensayado todas las posibilidades. ¿Qué os parecería sentaros Albert a la izquierda, Charlie en el centro y Bettina a la derecha?
-Jamás! -gritó Bettina.
-No te pongas así, Bettina -dijo el anciano. A regañadientes, los tres se levantaron y se sentaron así:

-¿Te das cuenta, Robert? ¡Eh, Robert, te estoy hablando! Seguro que a estos tres no se les ocurre. Robert alzó la vista hacia la pizarra:

-Creo que hemos probado todas las posibilidades -dijo. -Eso creo yo también -dijo el diablo de los números-, Pero no puede ser que en vuestra clase sólo seáis cuatro. Me temo que aún faltan unos cuantos. Apenas lo había dicho cuando Doris abrió la puerta. Estaba sin aliento.
-¿Qué ocurre aquí? ¿No está el señor Bockel? ¿Quién es usted? -preguntó al diablo de los números. -Sólo estoy aquí de manera excepcional -dijo el anciano-. Vuestro señor Bockel se ha tomado el día libre. Ha dicho que ya no podía más. Que vuestra clase es demasiado movida para él.
-Ya lo puede decir -replicó Doris-: están todos cambiados de sitio. ¿Desde cuándo es ése tu sitio, Charlie? ¡Ahí me siento yo! -Entonces propón un orden para sentarse, Doris -dijo el diablo de los números. -Yo seguiría simplemente el orden alfabético -dijo ella-. A de Albert, B de Bettina, C de Charlie, etc. Eso sería lo más sencillo. -Como quieras. Intentémoslo. Robert anotó en la pizarra:

Pero los demás no estaban en absoluto de acuerdo con el orden propuesto por Doris. En la clase andaba suelto el Diablo. Bettina era la peor. Mordía y arañaba cuando alguien no quería ceder su sitio. Todo el mundo empujaba y se daba codazos. Pero, con el tiempo, ese loco juego empezó a gustarles a los cuatro. El cambio se producía cada vez más deprisa, de tal modo que Robert no daba abasto en sus anotaciones. Por fin, la banda de los cuatro hubo ensayado todos los órdenes posibles y en la pizarra ponía:

Menos mal que hoy no han venido todos, pensó Robert, de lo contrario no acabaríamos nunca. Entonces se abrió la puerta y Enzio, Felicitas, Gerardo, Heidi, Ivan, Jeannine y Karol se precipitaron a entrar.

-¡No! -gritó Robert-. ¡Por favor, no! ¡No os sentéis! Voy a volverme loco.
-Está bien -dijo el diablo de los números-, lo dejaremos aquí. Podéis iros a casa. No habrá clase en las próximas horas.
-¿Y yo? -preguntó Robert.
-Tú puedes quedarte un ratito más. Los otros habían salido corriendo al patio. Robert miraba lo que ponía en la pizarra.
-Bien, ¿qué opinas? -preguntó el diablo de los números.
-No sé. Sólo hay una cosa clara: que son cada vez más. Cada vez más posibilidades de sentarse. Mientras sólo había dos alumnos la cosa aún funcionaba. Dos alumnos, dos posibilidades. Tres alumnos, seis posibilidades. Con cuatro ya son... un momento...: veinticuatro.
-¿Y si sólo hubiera uno?
-¡Qué tontería! Entonces, naturalmente, sólo habría una posibilidad.
-Prueba a multiplicar -dijo el anciano.

-Ajá -exclamó Robert-. Qué interesante.
-Si cada vez son más los que participan en el juego, se vuelve aburrido apuntarlos así. También se puede hacer más corto. Se escribe el número de participantes y un signo de exclamación detrás:

-Se pronuncia así: ¡cuatro pum!
-Si no hubiéramos mandado a casa a Enzio, Felicitas, Gerardo, Heidi, Ivan, Jeannine y Karol, ¿qué crees que hubiera ocurrido?
-Una gigantesca confusión -dijo el diablo de los números- Hubieran estado probando hasta hartarse todas las posiciones posibles, y puedo asegurarte que hubiera sido algo endemoniadamente largo. Contando a Albert, Bettina y Charlie hubieran sido once personas, y eso significa ¡once pum! posibilidades de sentarse. ¿Tienes idea de cuántas posibilidades serían? -Nadie podría calcular eso de cabeza. Pero en el colegio siempre tengo mi calculadora a mano. En secreto, claro, porque el señor Bockel no puede soportar que se trabaje con ella. Y Robert empezó a teclear:

-¡Once pum! -dijo- son exactamente 39,916,800. ¡Casi cuarenta millones! -Ya ves, Robert, si hubiéramos tratado de hacerlo aún estaríamos aquí dentro de ochenta años. Hace mucho que tus compañeros de clase necesitarían una silla de ruedas, y tendríamos que con-tratar a once enfermeras para llevarlos de acá para allá. Pero con un poquito de Matemáticas la cosa va más rápido. Se me ocurre una cosa más. Mira por la ventana a ver si tus compañeros de clase aún están ahí.
-Creo que se habrán comprado rápidamente un helado, y ahora irán camino de casa. -Supongo que se darán la mano al despedirse.
-Ni hablar. Como mucho dirán Adiós o Hasta luego. -Lástima -dijo el diablo de los números-. Me gustaría saber qué ocurre si todo el mundo da la mano a todo el mundo. -¡Para ya! Seguro que eso duraría eternamente. Es probable que haya un número gigantesco de apretones. ¡Puede que once pum! si es que son once personas.
-¡Error! -dijo el anciano. Si son dos, reflexionó Robert, sólo se necesita un apretón de manos. Con tres... -Mejor escríbelo en la pizarra. Robert escribió:

-Entonces, con dos es uno, con tres son tres, y con cuatro son ya seis apretones de manos.

-1, 3, 6... ¿no conocíamos eso? Robert no conseguía acordarse. Entonces, el diablo de los números pintó unos cuantos puntos gruesos en la pizarra:

-¡Los cocos! -gritó Robert-. ¡Números triangulares! -¿Y cómo siguen? -Ya lo sabes:

-Son exactamente 55 apretones de manos. -Eso aún se puede calcular -dijo Robert. -Si no quieres pasar tanto tiempo calculando, también puedes hacerlo de otra forma. Dibujas unos círculos en la pizarra, así:

-Luego, pones una letra más en cada nuevo círculo: A para Albert, B para Bettina, C para Charlie, etcétera. -Luego unes las letras con líneas:

-No tiene mal aspecto, ¿verdad? Cada raya significa un apretón de manos. Puedes contarlas. -1, 3, 6, 15... Como antes -dijo Robert-. Sólo hay una cosa que no entiendo: ¿puedes explicar-me por qué contigo siempre cuadra todo?
-Eso es precisamente lo demoníaco de las Matemáticas. Todo cuadra. Bueno, digamos mejor que casi todo. Porque ya sabes que los números de primera tienen sus pegas. Y también en lo demás hay que poner una atención enorme, porque de lo contrario es fácil caerse con todo el equipo. Pero, en líneas generales, en las Matemáticas la cosa discurre con bastante orden. Eso es lo que cierta gente odia de ellas. Pero yo no puedo soportar a los desordenados y a los chapuceros, y a ellos les pasa al revés, no soportan los números. A propósito, mira por la ventana: ¡ el patio de vuestro colegio es una auténtica pocilga! Robert tuvo que admitirlo, porque en el patio había latas de coca-cola vacías, tebeos rotos y envoltorios de bocadillo por todas partes. -Si tres de vosotros cogierais una escoba, dentro de media hora vuestro patio tendría mucho mejor aspecto.
-¿Y quiénes serían esos tres? -preguntó Robert.
-Albert, Bettina y Charlie, por ejemplo. O Doris, Enzio y Felicitas. Además, también tenemos a Gerardo, Heidi, Ivan, Jeannine y Karol.
-Pero tú dices que sólo se necesitan tres.
-Sí -objetó el diablo de los números-, pero ¿qué tres?
-Se les puede combinar a voluntad -dijo Robert.
-Sin duda. Pero ¿y si no estuvieran todos? ¿Si sólo tuviéramos a tres: Albert, Bettina y Charlie? -Entonces tendrían que hacerlo ellos.
-¡Bien, escríbelo! Robert escribió:

-Y si entonces llega Doris, ¿qué hacemos? Vuelve a haber varias posibilidades. Robert reflexionó. Luego escribió en la pizarra:

-Cuatro posibilidades -dijo. -Pero casualmente Enzio pasa por allí. ¿Por qué no va a echar una mano? Ahora tenemos cinco candidatos. Prueba.
Pero Robert no quiso.
-Mejor dime qué va a salir -dijo desmoralizado.
-Está bien. Con tres personas sólo podemos formar un grupo de tres. Con cuatro personas ya hay cuatro grupos distintos, y con cinco hay diez. Te lo escribiré:

-Hay otra cosa rara en esta lista. La he ordenado conforme al alfabeto, como ves. ¿Y cuántos grupos empiezan por Albert? Diez. ¿Cuántos por Bettina? Cuatro. Y por Charlie no empieza más que uno. En este juego aparecen una y otra vez las mismas cifras:

-¿Adivinas cómo sigue? Quiero decir, si ahora añadimos unos cuantos más, digamos que Felicitas, Gerardo, Heidi, etc. ¿Cuántos grupos de tres saldrían?
-Ni idea -dijo Robert. -¿Te acuerdas todavía de cómo discurrimos el asunto de los apretones de manos, cuando todo el mundo se despedía de todo el mundo?
-Eso fue muy fácil, con ayuda de los números triangulares:

-Pero no sirve para nuestras cuadrillas de limpieza, que trabajan de tres en tres.
-No. Pero ¿qué pasa si sumas los dos primeros números triangulares? -Sale cuatro. -¿Y si añades el siguiente?
-Diez. -¿Y otro más? -10 + 10 = 20.
-Ahí lo tienes. -¿Y tengo que seguir calculando hasta llegar al decimoprimero? Esa no es tu forma de hacer las cosas.
-No te preocupes. También se puede hacer sin calcular, sin probar, sin ABCDEFGHIJK. -¿Cómo?
-Con nuestro viejo triángulo numérico -dijo el anciano. -¿Vas a pintarlo en la pizarra?
-No. No estoy pensando semejante cosa. Me resultaría demasiado aburrido. Pero tengo mi bastón a mano. Tocó la pizarra con su vara, y ahí estaba el triángulo, en todo su esplendor y a cuatro colores.
-Más cómodo imposible -dijo el viejo diablo de los números-. Al estrechar las manos, simplemente cuentas los cubos verdes de arriba abajo: con dos personas un apretón de manos, con tres personas tres, con once personas 55. -Para nuestra cuadrilla de limpieza necesitas los cubos rojos. Vuelves a contar de arriba abajo. Empiezas con tres personas, con ellas no hay más que una posibilidad. Si puedes elegir cuatro personas dispones de cuatro combinaciones, con cinco personas ya son diez. ¿Y qué pasa cuando están los once alumnos? -Entonces son 165 -respondió Robert-. Es realmente sencillo.

Este triángulo numérico es casi tan bueno como una calculadora. Pero ¿para qué sirven los cubos amarillos ? -Oh -dijo el anciano-, ya sabes que yo no me doy fácilmente por satisfecho. Nosotros, los diablos de los números, siempre lo llevamos todo hasta el extremo. ¿Qué harás si las tres personas que tienes no son suficientes para el trabajo? Tendrás que coger cuatro. Y la fila amarilla te dirá cuántas posibilidades hay, por ejemplo, para elegir un cuarteto a partir de ocho personas. -Setenta -dijo Robert, porque había entendido muy bien lo fácil que era sacar la respuesta del triángulo. -Exacto -dijo el diablo de los números-. Por no hablar de los cubos azules. -Probablemente sean los grupos de ocho. Si sólo dispongo de ocho personas, no tengo que pensar mucho. Sólo hay una posibilidad. Pero con diez candidatos ya puedo formar 45 grupos distintos. Etcétera, etcétera.

-Veo que lo has comprendido.
-Ahora sólo quisiera saber qué aspecto tiene el patio -dijo Robert. Miró por la ventana, y he aquí que el patio estaba impecable como nunca.
-Sólo me pregunto qué tres llevarán ahora la escoba. -En cualquier caso no eres uno de ellos, mi querido Robert -dijo el diablo de los números.
-¡Cómo voy a barrer el patio del colegio si tengo que pasarme toda la noche peleando con números y cubos!
-Admite -dijo el anciano- que te has divertido haciéndolo.
-¿Y ahora? ¿Volverás pronto?-Antes me tomaré unas vacaciones -dijo el diablo de los números.
-Entre tanto, puedes entretenerte con el señor Bockel. Eso era algo que a Robert le apetecía bastante poco, pero ¿qué remedio le quedaba? A la mañana siguiente tenía que volver al colegio.
Cuando llegó al aula, Albert, Bettina y los otros estaban ya sentados en sus sitios. Nadie estaba deseando cambiar su sitio con los otros.
-Ahí viene nuestro genio de las Matemáticas -exclamó Charlie. -El bueno de Robert estudia incluso en sueños -le pinchó Bettina. -¿Creéis que le va a servir de algo? -preguntó Doris. -Yo creo que no -gritó Karol-. De todos modos el señor Bockel no le soporta. -Y viceversa -repuso Robert-. ¡Por mí que no vuelva! Antes de que llegara el señor Bockel, Robert echó una rápida mirada por la ventana. Como siempre, pensó al ver el patio. ¡Un verdadero montón de basura! Uno no puede fiarse de las cosas que sueña. Solamente de los números. En ellos sí se puede confiar. Luego entró el inevitable señor Bockel, con su maletín lleno de trenzas .

MAGNUS, HANS; “El Diablo de los Números”; Ed. Siruela, 11° Edición; Madrid; 2001

Combinatoria 2

Diagrama de Árbol

Es una representación gráfica de una siutación que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

En muchos de estos diagramas se puede aplicar el llamado proncipio multiplicativo, esto es que al multiplicar las posibilidades de cada rama obtenemos las posibilidades finales.


Ejemplos
1. Calcular el número de posibles resultados de lanzar 4 volados.

Se tienen en total 2x2x2x2=16 posibles resultados

2. Fernanda tiene en su guardaropa tres blusas (azul, rosa y blanca), cuatro faldas (azul, roja, negra y cafe) y dos pares de zapatos (negros y cafés). ¿De cuántes posibles maneras se puede vestir?

Se tienen 3x4x2=24 posibles combinaciones.

Ejercicio

Resolver los siguientes problemas por medio de diagramas de árbol:

1.- ¿Cuántos posibles resultados se tienen de echar 5 volados?

2.-¿Cuántos posibles resultados se tienen de tirar dos dados comúnes?

3.-Un restaurante tiene en su menú dos opciones de sopa, tres de plato fuerte, dos de postre y dos de bebida. ¿Cuántas posibles comidas existen?

4.-En una constructora se tienen 4 variedades de pisos de mármol (rosa, blanco, negro y gris), dos colo res de pintura para paredes (blanco y amarillo) y tres pinturas de exteriores (marfil, azul y salmón) para los acabados de un conjunto residencial, ¿Cuáles son las combinaciones posibles para el decorado de las casas?

5.- ¿En un grupo de kinder de 6 niños y niñas, al formarse todos quieren estar al frente de la fila junto a la maestra, de cuantas formas de pueden formar?

1.9 Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades.

Bosquejo Histórico

Combinatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa de encontrar formas rápidas y eficientes de contar sucesos sin tener que hacerlo uno por uno.

En 1654, incitado por Antoine Gombaud, caballero de Méré, quien le plantea el problema matemático de dividir una apuesta después de la interrupción anticipada de un juego de azar ("problema de los puntos"), Blaise mantiene correspondencia con Pierre de Fermat y envía una primera aproximación al cálculo de probabilidades. El problema consistía en que dos jugadores quieren finalizar un juego anticipadamente y, dadas las circunstancias en las que se encuentra el juego, pretenden dividir el premio para el ganador de forma equitativa, teniendo en cuenta las probabilidades que tiene cada uno de ganar el juego a partir de ese punto. A partir de esa discusión nace el concepto de valor esperado o esperanza matemática. Años más tarde, Pascal formuló la hoy llamada Apuesta de Pascal, una reflexión filosófica sobre la creencia en Dios, basada en consideraciones probabilísticas.

Hay dos métodos básicos para contar elementos agrupados:

Arreglo Rectangular

No es mas que una tabla simple donde se ponen las posibilidades, en caso necesario se quitan eventos imposibles para al final obtener el resultado por la siguiente fórmula:

n=categoría1 x categoría2 - eventos imposibles

Ejemplo:
Se hace un torneo de fútbol entre los segundos años de una escuela (salones 21 a 26), a una sola visita, sin revancha. ¿Cuántos juegos se realizarán?

Se hace la tabla:

Se eliminan eventos imposibles

En total hay 15 partidos a disputarse

Ejercicio: Hacer los arreglos rectangulares y calcular las respuestas de los siguientes problemas

1. Se hace un torneo de basketbol con primer grado (salones 11 a 14) ¿Cuántos juegos se van a efectuar?
2. Se van a hacer banderas de 2 colores y se tienen 5 colores a elegir (blanco, azul, rojo, amarillo y verde), si no se puede repetir color ...¿Cuántas posibles banderas se pueden hacer?

Apuntes de proporcionalidad

Vayan a http://matecolmex.blogspot.com/2008/10/17-determinar-el-factor-inverso-dada.html ahi ya esta el apunte

Paralelas cortadas por una secante

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https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/Paralelas%20cortadas%20por%20una%20secante.pdf

Perpendicularidad y paralelismo

Baja el archivo

https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/Conceptos%20b%c3%a1sicos%20de%20geometr%c3%ada2.pdf

lo siento pero por la cantidad de gráficos es difícil adaptarla al blog, si no estas en la lista de sky drive pide a alguien que sí este que te mande el archivo.

Conceptos básicos de Geometría

Baja el archivo https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/Conceptos%20b%c3%a1sicos%20de%20geometr%c3%ada.pdf

1. Punto: Lugar específico en el espacio
2. Línea: Sucesión de puntos
3. Recta: Sucesión de puntos que siguen una misma dirección, no tiene límites definidos.
4. Semirecta: Sucesión de puntos que siguen una misma dirección con un límite definido y otro indefinido.
5. Segmento de recta: sucesión de puntos que siguen una misma dirección con dos límites definidos.
6. Ángulos: Son la unión de dos rectas que tienen un punto extremo en común, las rectas se llaman lados del ángulo y el punto común es el vértice. Los ángulos se miden por medio de la cantidad de rotación, con ayuda del sistema babilónico. La unidad fundamental se llama grado (º).

Los ángulos se clasifican en función de la medida de sus grados:

• Ángulo Agudo: entre 0º y 90º
• Ángulo Recto = 90º
• Ángulo obtuso: mas de 90º y menos de 180º
• Ángulo llano: = 180º
  

También las relaciones entre los ángulos se pueden decir por su posición o por sus medidas sumadas

• Ángulos colineales: Aquellos que comparten un lado y el vértice
• Ángulos opuestos por el vértice: Sólo comparten el vértice, pero de uno sus lados son la prolongación del otro ángulo.
• Ángulos Complementarios: Aquellos que suman 90º
• Ángulos Suplementarios: Aquellos que suman 180º
  
  Ejercicio
  Dibujar los siguientes ángulos y clasificarlos según su medida:
  1) 15º
  2) 20º
  3) 35º
  4) 45º
  5) 75º
  6) 90º
  7) 110º
  8) 135º
  9) 150º
  10) 175º
  11) Dos ángulos opuestos por el vértice
  12) Dos ángulos complementarios de 50º y 40º
  13) Dos ángulos complementarios de 30º y 60º
  14) Dos ángulos suplementarios de 100º y 80º
  15) Dos ángulos suplementarios de 125º y 55º

1.4 Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida

Preliminares
Geometría
Viene del griego “geos” – tierra y “metrón” – medida, y surge en las primeras civilizaciones de la necesidad de establecer límites a los terrenos agrícolas y urbanos. Algunos de los primeros trabajos que se tienen de esta rama de las matemáticas son:

Bosquejo Histórico
El escrito mas antiguo que se conoce sobre geometrìa es el Papiro de Ahmés (Egipto), su título original es “Introducción para saber todas las cosas secretas”. Contiene problemas de aritmética y geometría con sus soluciones, pero no con su procedimiento.

Los babilonios dividen al giro completo en 360º a partir de subdividir cada uno de sus 12 meses regidos por una constelación diferente (zodiaco) .

Cada época del año tenía una constelación del zodiaco. Cada noche podían ver, desde que se pone el sol hasta que vuelve a salir, todas las constelaciones menos una. Esto es porque el sol impide ver la que está justo "detrás" de él. Y como aproximadamente cada mes cambia la constelación que no se ve, se tiene un sistema de fechas bastante aproximado.

Con los griegos se llega a la fundamentación de la geometría en sus reglas principales, conjuntando los conocimientos egipcios y babilónicos con sus propios estudios, los estudiosos de esta disciplina mas destacados fueron:

Tales de Mileto: Primer astrónomo que predice con exactitud un eclipse, y calculó por medio de ángulos y sombras la altura total de la Pirámide de Keops.
Pitágoras: Inventor del término matemáticas. Funda la primera escuela dedicada a las matemáticas, que divide en 4 secciones:

-Números absolutos o aritmética
-Números aplicados o música
-Magnitudes en reposo o geometría
-Magnitudes en movimiento o astronomía

Sus dos teoremas mas importantes son:

-La suma de los ángulos interiores de un triángulo (180º)
-El teorema de Pitágoras (A partir de la Edad Media, fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas)

Euclides escribe “Los Elementos", la primera obra dedicada exclusivamente a a la geometría, sus capítulos se llaman biblos. Contiene todos los fundamentos de geometría plana ( por eso se le llama también euclidiana), que se seguirán por mas de 2000 años.

Primera página de Los Elementos, en la primera edición impresa en latín en 1492, con traducción de Campanus

Los Elementos han sido la primera obra matemática fundamental que ha llegado hasta nuestros días, el texto más venerado y que mayor influencia ha tenido en toda la historia de la Matemática. De hecho, después de la Biblia, son Los Elementos de Euclides la obra que más ediciones ha conocido desde que Gutenberg inventara la imprenta. Los Elementos están constituidos por XIII libros que contienen 465 proposiciones, todas verdaderas, que han resistido el paso del tiempo como ninguna otra científica permaneciendo vigente e insuperable a lo largo de más de 2300 años. De lo anterior no es por tanto de extrañar que de esta magnífica obra se nutrieran casi todos los grandes matemáticos que después han sido: Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, .... No en vano Einstein escribe de ella «Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento», o Bertran Russel «la lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor ».

Incluso los grandes filósofos tenían a la geometría como un paso necesario para la comprensión del universo. Platón, cuando fundo su academia en el siglo IV a.C. hizo escribir en el frente del edificio: ''QUE NADIE ENTRE AQUI SI NO SABE GEOMETRIA'' .


Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva.

Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado. Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2.

Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial.

Bolyai y Lobatchevsky, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta a la Euclidiana.

Riemann se pregunta qué problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Usando aún un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.

Conceptos Básicos del Álgebra

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio: Expresión algebraica de un sólo término.
Polinomio: Expresión algebraica de dos o más términos.
Binomio:Expresión algebraica de dos términos.
Trinomio: Expresión algebraica de tres términos.

Orden de polinomios
Se emplea para trabajar más fácilmente con los términos algebraicos. Son reglas de uso general para escribir los resultados de cualquier operacion algebraica.
Criterios
1° Se ordenan los términos alfabéticamente, dejando los términos independientes al último.
2° Si tienen la misma letra, se ordenan por su exponente de mayor a menor.
3° Si tienen la misma letra y el mismo exponente, se toma la segunda letra aplicando los criterios anteriores, en caso de que alguno de los términos no tenga segunda letra se deja al último.

Introduccion al Álgebra

Vayan al siguiente link

http://matecolmex.blogspot.com/2008/09/12-resolver-problemas-que-impliquen.html

ahi va a estar, lo siento por esta vez no hay archivo pdf.

Ejercicio Multiplicación de Números con Signo

1. (+4)(-4)=


2. (-5)(-5)=


3. (-6)(+6)=


4. (-4)(-5)=


5. (+4)(+8)=


6. (-3)(-9)=


7. (+9)(+10)=


8. (+7)(-6)=


9. (-6)(+3)=


10. (-7)(-4)=


11. (+8)(+8)=


12. (-8)(+5)=


13. (+10)(-11)=


14. (-6)(-10)=


15. (-7)(-9)=


16. (-8)(-7)=


17. (-8)(-10)=


18. (-9)(-10)=


19. (-7)(+7)=


20. (-8)(-8)=

Nota: Este ejercicio es resuelto para mañana

Nota 2 : Mañana traigan ya su cuaderno de actividades de Editorial Progreso, lo vamos a utilizar

Ejercicio Complementario Suma y Resta Números con signo

1. (+5)+(-2)=
2. (+4)+(-1)=
3. (-4)+(+1)=
4. (+12)+(-10)=
5. (+8)+(-6)=
6. (-10)+(+3)=
7. (+11+(-8)=
8. (-9)+(-7)=
9. (+4)+(+9)=
10. (-6)+(-2)=
11. (-5)+(+7)=
12. (-3)+(+6)=
13. (-11)+(+15)=
14. (+13)+(-16)=
15. (-8)+(+6)=
16. (-12)+(-9)=
17. (+12)+(+9)=
18. (-20)+(+25)=
19. (+30)+(-15)=
20. (-15)+(+9)=
21. (-15)+(+18)=
22. (+20)+(-12)=
23. (-5)+(-2)=
24. (-7)+(+10)=
25. (+4)+(-2)=
26. (+7)+(-9)=
27. (-2)+(+3)=
28. (-7)+(-9)=
29. (-6)+(-8)=
30. (+8)+(+6)=
31. (-12)+(-7)=
32. (+11)+(+13)=
33. (-25)+(-7)=
34. (+21)+(-13)=
35. (-2)+(-7)+(+13)=
36. (+8)+(-4)+(+3)=
37. (+9)+(-5)+(-4)=
38. (-6)+(-2)+(-4)=
39. (-7)+(+3)+(+5)=
40. (+7)+(+5)+(-2)+(-4)=
41. (-8)+(-1)+(-3)+(-6)=
42. (+13)+(-6)+(+3)+(-10)=
43. (-9)+(-8)+(+4)+(+6)=
44. (-2)+(-6)+(+9)+(-5)=
45. (+10)+(-6)+(-5)+(-3)=
46. (-16)+(+9)+(+12)+(-2)=
47. (+17)+(-8)+(-13)+(+9)=
48. (+5)+(-2)+(-7)+(+9)=
49. (+13)+(-29)+(+6)+(-4)=
50. (-10)+(+7)+(-6)+(+5)=
51. (-3)-(+6)=
52. (-9)-(-8)=
53. (-12)-(-6)=
54. (+30)-(+15)=
55. (+5)-(+3)=
56. (+15)-(-3)=
57. (-11)-(+12)=
58. (-4)-(-9)=
59. (-11)-(-9)=
60. (-12)-(-4)=
61. (-10)-(+8)=
62. (+12)-(+8)=
63. (+15)-(-7)=
64. (-7)-(-3)=
65. (-7)-(+2)=
66. (-17)-(-8)=
67. (+11)-(-4)=
68. (+5)-(-1)=
69. (-19)-(+10)=
70. (-1)-(+4)=
71. (+2)-(-8)=
72. (+11)-(+15)=
73. (+9)-(-6)=
74. (-10)-(-4)=
75. (-9)-(+14)=
76. (-15)-(-13)=
77. (-18)-(+9)=
78. (+20)-(+5)=
79. (-5)-(+9)=
80. (+14)-(-8)=
81. (+18)-(+12)=
82. (+20)-(+14)=
83. (+35)-(+17)=
84. (+25)-(+13)=
85. (+36)-(+24)=
86. (+20)-(-14)=
87. (+17)-(-11)=
88. (+14)-(-9)=
89. (+11)-(-6)=
90. (-7)-(-5)-(-6)=
91. (-21)-(-11)-(+3)=
92. (-28)-(-14)-(-19)=
93. (-35)-(-17)-(-12)=
94. (+12)-(-8)-(+12)=
95. (-21)-(+8)-(-12)=
96. (-34)-(+17)-(-12)-(-24)=
97. (-30)-(+19)-(-14)-(-13)=
98. (-26)-(+21)-(+13)-(-6)=
99. (-22)-(-7)-(-18)-(-17)=
100. (-23)-(+28)-(-13)-(+8)=

Hojas de Cálculo Mental

Si bajaste ayer el archivo ZIP, ahi ya viene el documento de cálculo mental, si no aqui esta el link https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/Calculo%20Mental%20OFICIO.pdf . Recuerda que para que tengas espacio suficiente para escribir hay que imprimirlo en hojas oficio.

Bienvenidos

¡Hola! Bienvenidos a este espacio que les ayudará con matemáticas, aqui saldrán los principales materiales para el curso:

• Las tareas saldrán tal cual, indicando el ejercicio o las páginas del libro a realizar
• Los apuntes saldrán en archivo PDF y se bajaran de Myspace, por lo que para bajarlos tienes que mandarme una invitación a unirme a tu messenger, la direccion es matecolmex@hotmail.com, es indispensable que te identifiques en el mensaje de la siguiente forma: Nombre, Apellidos, Salón, lo siento pero para evitar bromistas no admito a nadie que no tenga esos datos.
• Una vez que lo tengan asi y hayan sido admitidos baja la síntesis de la materia en el siguiente link https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/matematicas.zip
• O si prefieres imprime las siguientes imagenes en HOJAS OFICIO

El programa del curso es el siguiente:

BLOQUE 1
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
1.4. Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.
1.5. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
1.6. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
1.10. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

BLOQUE 2
2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.
2.2. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.
2.3. Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos.
Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
2.4. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.
2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.
Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.
Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.
Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.
2.6. Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.
2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

BLOQUE 3
3.1. Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.
Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.
3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx +ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
3.3. Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
3.4. Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
3.5. Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
3.6. Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.
3.7. Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.
3.8. Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

BLOQUE 4
4.1. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia.
Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
4.2. Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
4.3. Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
4.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes.
Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
4.5. Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación para tener información más completa y en su caso tomar decisiones.
4.6. Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

BLOQUE 5
5.1. Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
5.2. Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.
Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
5.3. Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
5.4. Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes.
Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

La siguiente bibliografía es la que voy a usar en diferentes momentos del curso, de donde voy a sacar ejercicios para la clase y en donde me voy a basar para hacer los exámenes, dependiendo de cada tema en particular. Resalto que el Cuaderno de Actividades que se tiene en el material es eso, un cuaderno de actividades, no un libro de texto, y se usará como tal, para resolver ejercicios y apoyar los contenidos que se den principalmente por este medio.

Algunos son clásicos de la enseñanza matemática desde hace muchos años, de ahí saco muchos ejercicios, otros me ayudan con los nuevos contenidos por competencias que se deben dar a la materia, y uno que a nivel literatura infantil es un acercamiento fabuloso a la matemáticas desde un enfoque didáctico distinto, me refiero al Diablo de los Números.

La gran mayoría de los libros de ejercicios se encuentran en la biblioteca, los demás me han llegado directamente de las editoriales, por lo que no puedo asegurar su disposición en la biblioteca, pero al ser relativamente nuevos estarán fácilmente a la venta.

Hay textos que evidentemente son de grados superiores, de ahí saco los ejercicios necesarios de temas muy específicos, me refiero al Álgebra de Baldor y al Álgebra de Anfossi-Flores Meyer, de donde se toman sólo los ejercicios y contenidos adecuados al grado, algunas veces actualizándolos y adaptándolos.

Bibliografía del Curso:

ALDAPE-TORAL; “Matemáticas 1": Ed. Progreso; 1° Edición; México; 1999

ALDAPE-TORAL; “Matemáticas 2”: Ed. Progreso; 1° Edición; México; 1999

ANFOSSI-FLORES MEYER; “Álgebra, Estudiante”; Ed. Progreso; 1° Edición, 19° reimpresión; México; 2007

ARTEAGA-SANCHEZ; “Descubriendo Matemáticas 2”; Ed. Oxford; 1° Edición; México; 2007

BALDOR, “Algebra”; Publicaciones Cultural; 1° Edición, 9° Reimpresión, México, 1992

BOSCH-GOMEZ;”Matemáticas 2 Secundaria”; Ed Nuevo México; 1° Edición; México, 1999

BOSCH-GOMEZ;”Ejercicios y Actividades de Matemáticas 2 Secundaria”; Ed Nuevo México; 1° Edición; México, 2001

BOSCH-GOMEZ;”Encuentro con las Matemáticas Segundo”; Ed Nuevo México; 1° Edición; México, 2006

MAGNUS, HANS; “El Diablo de los Números”; Ed. Siruela, 11° Edición; Madrid; 2001

CABALLERO-MARTÍNEZ-BERNÁRDEZ;”Matemáticas 2° Curso”;Ed. Esfinge; 6° Edición, México, 2001

CABALLERO-MARTÍNEZ-BERNÁRDEZ;” Cuaderno de Matemáticas 2° Curso”;Ed. Esfinge; 6° Edición, México, 2001

PRECIADO-TORAL; “Curso de Matemáticas 2°”; Ed. Progreso, 13° Edición, 16° Reimpresión, México, 2002

Atte.

Prof. Tomás Pérez Espinosa

Sistemas de ecuaciones tarea 2

x+y=1
2x-y=8

6x+y=10
4x-y=0

2x+2y=5
x+y=3

x+y=2
3x+3y=6

Tarea Sistemas de Ecuaciones Método Gráfico

Tema de sistemas de Ecuaciones

Para bajar el archivo ve a https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/Sistemas%20de%20ecuaciones.pdf

Tema Notación Científica

Sigan este enlace para descargarlo, si no puedes agregame a mesenger para que lo puedas descargar o pidelo a alguien que si tenga permiso

https://cid-1167a34bc2071ae6.skydrive.live.com/self.aspx/.Documents/Notaci%c3%b3n%20Cient%c3%adfica.pdf

Tarea Leyes Exponentes 2

I. Completa las siguientes tablas (para imprimir, haz click para tener el tamaño apropiado)

II.- En base a las tablas anteriores, analizando bien tus resultados, y sin tener que hacer la operación completa, escribe cual es el último dígito de las siguientes operaciones

Tarea Leyes de los exponentes

Apunte de Teselas y Trabajo en Equipo

http://colegiomexico23.blogspot.com/2007/09/teselas.html

Problemas de Ecuaciones de Primer Grado 2

1. Un padre dejó $50,000,000 para repartir entre de sus dos hijos y su hija, pero la herencia de la hija debe exceder en $ 2,500,000 a la suma de las herencias de sus hermanos. ¿Cuánto le toca a cada uno?
2. Una plataforma rectangular tiene 676 m de perímetro. Lo largo excede a lo ancho en 70 m. Calcular las dimensiones de la plataforma.
3. Se quiere cercar un terreno rectangular que tiene 40 m más de largo que de ancho. ¿Qué dimensiones tiene el terreno si se necesitan en la cerca 1,000 m de tela de alambre?
4. La Edad de Carlos es el duplo de la Pedro. Hace seis años la edad de Carlos era 8 veces la de Pedro. Calcular ambas edades.
5. Encontrar tres números consecutivos que sumen 48.
6. La edad de Rosa es el triple de la de sus hermana. Hace tres años la edad de Rosa era el séxtuplo de la de su hermana. Calcular las edades.

Problemas de Ecuaciones de Primer Grado

1. La suma de dos números es 32. El duplo del mayor es el séxtuplo del menor. ¿Cuáles son esos números?
2. Ester es 8 años mayor que Marta. El triple de la edad de Ester es 7 veces la edad de Marta. ¿Qué edad tienen?
3. Antonio tiene 11 años mas que su hermano. El doble de la edad de Antonio es igual al cuádruplo de la de su hermano disminuida en 2 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
4. Felipe tiene 4 años menos que Manuel. Dentro de 6 años el quíntuplo de la edad de Felipe será igual al cuádruplo de la de Manuel. ¿Cuántos años tienen?
5. En el circo se vendieron 4955 entradas, los boletos vendidos para niños fueron el cuádruplo de los boletos vendidos para adultos. ¿Cuántos boletos de cada clase se vendieron?
6. En un triángulo el ángulo A es el triple del ángulo C y el ángulo B es el duplo del ángulo C. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Ejercicio 1 Lenguaje Algebraico

Representar mediante expresiones con literales, cada uno de los siguientes enunciados:

1. Un número cualquiera menos tres unidades.
2. Un número cualquiera mas 18 unidades.
3. Dos números cualesquiera consecutivos.
4. La suma de dos números cualesquiera.
5. El doble de un número cualquiera, menos el triple de otro.
6. El semiproducto de dos números cualesquiera.
7. La semidiferencia de dos números cualesquiera mas 12 unidades.
8. La semisuma de dos números cualesquiera mas la semidiferencia de los mismos números.
9. El triple del cuadrado de un número cualquiera menos la mitad del cubo de otro número cualquiera.
10. El cociente de dos números cualesquiera menos la semisuma de dichos números.
11. La mitad de un número, mas el doble de otro número es igual a 14.
12. Un número disminuido en 5 es igual a 12.
13. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera menos 14 es igual al triple del primero más 25.
14. El Perímetro de un cuadrado de lado a.
15. El producto de dos números consecutivos cualesquiera.
16. La suma de dos números concecutivos es igual a 19.
17. El volumen de un cubo de arista m.
18. La suma de dos números enteros consecutivos es igual a 24.
19. El producto de la suma de dos números cualesquiera por la diferencia de los mismos números.
20. La suma de dos números cualesquiera, menos la mitad del primer número, es igual a 18.

Tarea Ecuaciones 2

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 3x+4=7x-10
2. 2x+8=6x+9
3. 5x+12=8x-3
4. 3x-8=4x+2
5. 5x-8=6x-10
6. 2x+14=7x-16
7. 12x+4=15x-25
8. 6x+3=11x-38
9. 8x-12=9x+15
10. 5x+4=7x-10

3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx +ex + f y con parén

Bosquejo Histórico de las Ecuaciones de 1° Grado

Resolver la ecuaciones de 1° Grado es un largo proceso histórico que ha llevado mas de 3,000 años, en donde se distinguen tres periodos principales:

Primera Fase
Comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones básicas.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind -1650 a. de C- y el de Moscú -1850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. En ellos a la x la denominaban ahu o montón.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24

Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 .

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diofanto (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría, de hecho el álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), es llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

Sobre la vida de Diofanto aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:

" Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años.De todo esto, deduce su edad. "

En la India, los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente problema:

Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado. Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.

Bhaskara (1114-1185) Es el primero en usar un concepto moderno de “incógnita” en las ecuaciones, y el primero en idear la formula general de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera sílaba de las palabras.
Dada la ecuación ax + b = cx + d , la solución vendrá dada dividiendo la diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.

Con Al-Jwārizmī se llega al culmen de esta fase cuando idea el método de la compleción y el balanceo ("Hisab al yabr al muqabala", título de su libro mas conocido). La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-jabr ("compleción", el proceso de eliminar términos negativos de la ecuación) y al-muqabala ("balanceo", el proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando suceden de ambos lados de la ecuación). Luego, al-Jwarizmi muestra como resolver seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos.

Segunda fase
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones.

Tercera fase
Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

División de las Igualdades

Las igualdades son expresiones algebraicas que comparan dos elementos específicos ( binomios, trinomios , términos independientes, etc) y que dependiendo de los valores que cumplan esa regla, se van a subdividir en:

1. Identidades: Cualquier valor las satisface
   P. Ej.: 2x+3x=5x
   
2. Ecuaciones: Solo un grupo de valores específicos la satisface. O sea, es una igualdad condicional.
   P. Ej.:
   2x+4=10 Ecuación de 1° grado con una incógnita .
   3x2-3x+4=0 Ecuación de 2° grado con una incógnita .
   3x+4y=12 Ecuación de 1° grado con dos incógnitas.

Partes de una Ecuación

• >La Ecuación contiene una o varias cantidades desconocidas llamadas INCÓGNITAS representadas por letras (generalmente x, pero no siempre)
• >Cada expresión algebraica que aparece de uno u otro lado del signo de igual de la ecuación se llamará MIEMBRO, primer miembro si esta a la izquierda y segundo si esta a la derecha.
• >Resolver una Ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace iguales ambos miembros de la ecuación.
• >El valor que satisface a la ecuación es la RAÍZ o SOLUCIÓN.

Resolución de Ecuaciones de 1° Grado con una Incógnita

Para resolver una ecuación de 1° Grado con una incógnita se emplean dos herramientas:

1. La Propiedad del Equilibrio de las Igualdades: que nos dice que si en una igualdad a ambos miembros se les suma, resta, multiplica, divide , potencia o sacar raíz de la misma cantidad, la igualdad se conserva. (Lo que se hace de un lado se hace del otro).
2. La Operaciones Aritméticas Contrarias: De la suma, la resta; de la multiplicación, la división; de la potencia, la raíz.

De tal manera que para hallar la solución de una ecuación tenemos que:

1. Despejar paulatinamente la literal, eliminando cantidades que la rodean por medio de la operación contraria.
2. Para mantener la igualdad se aplica la ley del equilibrio de las igualdades, poniendo lo que se hizo de un lado de la ecuación en el otro lado y resolviendo las operaciones resultantes.
3. La incógnita estará despejada cuando quede sola, positiva y entera.

Algunos consejos a la hora de trabajar con ecuaciones:

• >Colocar los signos de = alineados verticalmente .
• >Resaltar el resultado siempre .
• >Colocar todo el proceso de la ecuación en una sola página .