lunes, 8 de septiembre de 2008

1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Preliminares: Álgebra


El álgebra surge como una necesidad de encontrar cantidades desconocidas en operaciones conocidas. El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades de forma general. Esto tiene tres ventajas sobre el aritmética:


  1. Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

  2. Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

  3. Permite la formulación de relaciones funcionales.


El ejemplo mas conocido son las fórmulas geométricas:



Reseña Histórica

Desde el punto de vista histórico, el algebra es una conocimiento que surge al mismo tiempo en diferentes culturas, los problemas mas antiguos que se conocen con los babilonios, desde el tiempo del rey Hammurabi (2000 a.C.), se conocen tablillas con ecuaciones de segundo grado.



Con los egipcios se tiene la certeza que desde el año 1850 a.C. ya resolvían sistemas de ecuaciones, en el Papiro de Ahmés a la incógnita o dato desconocido (lo que hoy cocncemos como x) se ledaba el nombre de hau (montón).

Con los griegos, Diofanto de Alejandría en su obra llamada Aritmética pone algunas custiones que hoy se consideran terrno del álgebra, como la ley de los signos, uso de abreviaturas y resuelve ecuaciones cuadráticas y cúbicas.



Con los chinos esta rama de la matempaticas empezó a trabajarse apartir del S: III a.C. en un comentario a la obra Aritmética en Nueve Secciones con un porblema sobre un bambú roto que exige el conocimiento del teorema de Pitágoras y las ecuaciones de primer grado.

Con los Hindúes los exponentes mas destacados en el desarrollo del álgebra son:

  • Aryabhata (hacia 476 - 550) que resuleve ecuaciones de primer grado por primera vez con los numerales hindúes.
  • Bhaskara (1114-1185) que fue el primero en usar un concepto moderno de “incógnita” en las ecuaciones y en idear la formula general de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Con los árabes se considera que el álgebra deja de ser solo problemas suletos que surgen esporádicamente entre operaciones aritméticas y llega a ser una rama formal de las matemáticas, el principal exponente del álgebra árabe es:

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā'far) (780-850)

  • Conocido generalmente como al-Jwārizmī , estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa al-Mamun, en la Casa de la Sabiduría.

  • Su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala (método de la compleción y el balanceo) es considerado el libro matemático más importante de las historia, pues conjunta los conocimientos griegos, hindúes y árabes, resumiéndolos en un estilo simple y didáctico. Del término Al yabr (compleción) surge la palabra álgebra, y era una operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

  • Este libro llevado por Leonardo de Pisa a Europa, introducirá la numeración indo-arábiga a Europa, propiciando un sin fin de adelantos.

  • Luego, muestra como resolver los seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos.

  • Primero reduce una ecuación a alguna de seis formas normales:
    (a) Cuadrados iguales a raíces.
    (b) Cuadrados iguales a números.
    (c) Raíces iguales a números.
    (d) Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo x2 + 10x = 39
    (e) Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo x2 + 21 = 10x
    (f) Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo 3x + 4 = x2
  • Muestra cómo multiplicar expresiones como (a + bx)(c + dx)
  • Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de sólidos como la esfera, el cono y la pirámide, basándose en conocimientos judíos e hindúes.

  • Inventa la prueba geométrica por compleción del cuadrado

En Europa, aprtir de la introduccion de Leonardo de Pisa de los conocimeitnos árabes, el álgebra va tomando su forma moderna, pues si bien ya usaban la numeración indoarábiga, no estaban todos los símbolos que usamos hoy en día:

  • Francois Viéte funda la reglas modernas del álgebra y funda un simbolismo que bien podemos ya entender como moderno
  • John Widman idea los símbolos + y- en 1489
  • Christoff Rudoff comienza a usar el símbolo de raíz √ en 1525
  • Robert Recorde usa el signo = en 1557
  • Albert Girard idea el corchete [ ] en 1629
  • William Oughtred introduce el signo X para la multiplicación en 1631
  • Thomas Harriot en mismo año utliza los signoz > y <
  • Renoi Descartes usa por primera vez la x para designar la incógnita en 1637
  • Jonh Wallis inventa el símbolo de infinito ∞ en 1655
  • Johann H. Rhan inventa el signo ÷ en 1659

Todos ellos fueron dando forma al lenguaje algebraico tal como lo conocemos hoy.

Lenguaje Algebraico

Es aquel donde se combinan números, letras y signos para representar leyes y relaciones de magnitudes de nuestra realidad. En la mayoría de los casos las primeras letras del abecedario se utilizan para cantidades conocidas y las últimas para cantidades desconocidas.

El núcleo fundamental se llamará término algebraico y tendrá las siguientes partes:

  • Si el término carece de signo, este será positivo
  • Si carece de coeficiente, este será 1
  • Si carece de exponente este será 1
  • Si carece de literal, será llamado término independiente

Cuando dos términos tienen la misma literal y exponente se dice que son semejantes

Ejemplo:

De 3x,4a,5g,7a

los semejantes son 4a y 7a